要“感悟”而不要“赶悟”——“替换”的策略教学案例及反思

案例A】

1．出示两幅天平图，要求根据图示求出1个苹果和1个梨各重多少。   

2．在学生交流基础上，课件动态演示把1个苹果换成2个梨或者把2个梨换成1个苹果，从而解决了问题。

    3．板书：数学中一种非常重要的策略——替换。

    4．出示“曹冲称象”的图片，问曹冲是如何用替换的办法称出大象的质量的。

    5．图文呈现例题，分析题意后，教师提问：怎样用替换的策略来解决这个问题呢?

    6．选择一种你喜欢的方式进行替换，在老师发给你的纸上画出示意图来，然后根据示意图，再列出算式解答。

    7．反馈整理，总结提高，然后巩固练习。

【分析】  利用数形结合、经典故事创设情境，激活思维，体验“替换”思想，这样  的教学设计符合学生的认知规律，但总觉得这样教学太平铺直叙。数学课，思维不能缺席，学生思维的含金量是数学课堂教学追求的核心价值。案例A从直观的天平图，到感性的数形结合，再结合“曹冲称象”的故事，表面上看唤醒了学生头脑里已有的生活经验，让学生感悟替换在解决实际问题中的价值和意义，而实际上是搭建一个又一个脚手架，标注一个又一个标签，有“赶”着学生去“悟”的嫌疑。过早呈现“替换”的思想，虽然能引起学生短时间的好奇，却难以持续维持学习热情，因为问题的挑战性不够，学生的思维没有经历“山重水复疑无路”的境界，没有进入“悱愤”的状态，学生只能被动接受策略思想，潜在的学习能力和学习热情得不到开发。

【案例B】

    出示例题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升?

    1．请学生试一试并说说自己的想法。

    2．如何来研究这个比较复杂的问题?观察下图，能不能对你有一点启发和帮助。

3．再次请学生试一试，用自己喜欢的方式解答出来。

4．交流互动，学生代表在投影仪上展示和介绍各自的想法，可能出现几种：

生1：我把1个大杯换成3个小杯，这样就有9个小杯。一共是720毫升，720÷9＝80(毫升)，可以算出一个小杯的容量是80毫升；80÷1/3＝240(毫升)，1个大杯的容量就是240毫升。

生2：我是把6个小杯换成2个大杯，这样就有3个大杯，720÷3＝240，可以先

求出一个大杯的容量是240毫升；240×1/3＝80(毫升)，再求出1个小杯的容量是80毫升。

生3：……

5．结合学生汇报，逐步形成板书：

6．小结回顾：我们解决这个问题运用了什么数学思想?为什么要这样替换?你觉得替换有什么好处?

7．在生活中或以前学过的数学知识中有没有用到“替换”的思想方法?在学生交流汇报基础上，相机出示案例A中的“根据天平图图示求出1个苹果和1个梨各重多少?”和“曹冲称象”的故事，现代与古代的  题目合理配置，学生对“替换”策略的理解也越来越深刻。   

    【分析】  直接出示例题，用富有挑战性的数学问题，激发学生的学习欲望。学生一般能读懂题意，但不会利用其中的数量关系思考，一时会处于一种僵持状态，这时出示示意图，6个小杯和1个大杯，并标注小杯与大杯容量的关系，学生就容易在图中看到：如果把1个大杯换成3个小杯，就相当于果汁倒人了9个小杯；如果把6个小杯换成2个大杯，就相当于果汁倒人了3个大杯。这就是利用“小杯的容量是大杯的1/3”这个数量关系进行的替换活动，把较复杂的问题转化成简单的问题。可见，在学生的经验结构里有替换，不过是潜在的、无意识的。教学的任务是把沉睡的方法唤醒，使隐含的思想清晰起来。这是例题的编写意图，也是设计的教学思路。教师紧跟着要求学生“说说为什么这样替换”，引导他们回顾刚才的替换活动，反思是怎样替换的，清楚地知道可以从哪个数量关系引发替换的思考，使例题的教学意义超越解答一道题目，得到一组答案，逐渐“感悟”替换的思想方法。最后引用“天平图推理”和“曹冲称象”的故事呈现，将现代与古代的题目合理配置，使学生对替换策略进一步理解，从而提升学生的数学思维水平。随着学习的深入，学生所遇到问题的内容和类型在不断变化，而解决这些不同类型问题的策略却始终如一，学生对策略的运用越来越熟练，对策略的理解也越来越深刻，从而形成“化归”的数学思想。  

    【综合反思】

1．要“感悟”而不要“赶悟”。

在教学中，教师的角色是引导者、帮助者。但在实际教学中，教师引导、帮助有时  过于提前。本节课的教学重点就是引导学生在动态的思考中感受替换的意义和价值，案例A中，让学生感悟“替换”的思想就显得介入过早，有“赶悟”的嫌疑，学生无需“跳一跳”，便摘到“果子”了。而案例B中，课一开始便把学生置人“愤悱”的学习状态，一下子集中学生的注意力，将静态的文字转化为学生火热的思考。先让学生自主分析数量关系，然后提供图画寻求策略，接着独立画图、感悟思考，学生的经验结构里潜在的、无意识的替换思想被唤醒，最后师生交流，教师用简洁明了的板书体现替换的策略，使隐含的思想清晰起来。“天平图推理”和“曹冲称象”的故事呈现，将数学知识与生活问题相结合，古代经典与现代问题相结合，在解决问题的过程中学生逐渐“感悟”替换的思想方法。

2．要“思想”更要“思路”。

    替换的真正价值在于使问题简单化，这是一种重要的数学思想。但是，我们追求替换思想的同时不要忽视解决问题过程中的思路训练，特别要关注学生的“原创思维”，即学生面临问题时的“似真推理”。案例B中，教师出示例题后，请学生试一试，说说自己的想法并出示直观图，这时最需要教师关注的，一定要多收集学生面临该问题的“原创思维”，筛选后加以利用并以此作为教学资源，推进教学进程。在学生初步学习倍数关系的替换策略之后，教师可抓住替换的依据进行变式，由“小杯的容量是大杯的1/3”改变为“大杯的容量是小杯的4倍”，再改变为“大杯的容量比小杯多20毫升”，让学生分别进行替换策略的巩固。当学生对两个数量有相差关系时能否进行替换产生不同意见时，适时组织学生讨论，从而使问题得到解决。这样的设计与教学，抓住两个量之间的关系，灵活变化，加强了思路训练，充分调动了学生的探究欲望，利用知识间的迁移，突破了难点，并让学生在比较中内化已有知识的结构，明确了倍比、差比两种不同类型的替换特征，在变与不变中让学生探寻联系，使数学课上“思想”与“思路”相辅相成，有机结合，实现“共赢”。